积分中值定理(柯西中值定理)
柯西中值定理
柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广,是微分学的基本定理之一。
其几何意义为,用参数方程表示的曲线上至少有一点,它的切线平行于两端点所在的弦。该定理可以视作在参数方程下拉格朗日中值定理的表达形式。
柯西中值定理粗略地表明,对于两个端点之间的给定平面弧,至少有一个点,弧的切线通过其端点平行于切线。
柯西中值定理证明
特殊到一般的关系。连续函数介值定理是引理,最特殊的。罗尔定理f(b)=f(a)所以有a<c<bf'(c)=0拉格朗日不要求f(b)=f(a)只要连续可导有f'(c)=[f(b)-f(a)]/[b-a],如果f(b)=f(a)就是罗尔定理。柯西中值定理f(x)g(x)连续可导,gx导数不为0既有f'(c)/g'(c)=[fb-fa]/[gb-ga]如果设g(x)=x则g(b)=bg(a)=a就是拉格朗日中值定理了。所以说拉格朗日是柯西的特殊情况(g(x)=x)罗尔是拉格朗日的特殊情况(f(b)=f(a))
柯西中值定理条件
一、地位不同: 1、柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广, 2、拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广,同时也是柯西中值定理的特殊情形,是泰勒公式的弱形式(一阶展开)。 二、几何意义不同: 1、柯西中值定理几何意义为,用参数方程表示的曲线上至少有一点,它的切线平行于两端点所在的弦。该定理可以视作在参数方程下拉格朗日中值定理的表达形式。 2、拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一,它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。
柯西中值定理公式
柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广,是微分学的基本定理之一。其几何意义为,用参数方程表示的曲线上至少有一点,它的切线平行于两端点所在的弦。该定理可以视作在参数方程下拉格朗日中值定理的表达形式。柯西中值定理粗略地表明,对于两个端点之间的给定平面弧,至少有一个点,使曲线在该点的切线平行于两端点所在的弦。
柯西中值定理几何意义
罗尔定理:如果函数f(x)满足: 在闭区间[a,b]上连续; 在开区间(a,b)内可导; 其中a不等于b; 在区间端点处的函数值相等,即f(a)=f(b), 那么在区间(a,b)内至少存在一点ξ(a<ξ<b),使得f'(ξ)=0. 罗尔定理的三个已知条件的直观意义是:f(x)在[a,b]上连续表明曲线连同端点在内是无缝隙的曲线;f(x)在内(a,b)可导表明曲线y=f(x)在每一点处有切线存在;f(a)=f(b)表明曲线的割线(直线AB)平行于x轴.罗尔定理的结论的直观意义是:在(a,b)内至少能找到一点ξ,使f'(ξ)=0,表明曲线上至少有一点的切线斜率为0,从而切线平行于割线AB,也就平行于x轴. 拉格朗日中值定理:若函数f(x)在区间[a,b]满足以下条件: (1)在[a,b]连续 (2)在(a,b)可导 则在(a,b)中至少存在一点c使f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)柯西中值定理:如果函数f(x)及f(x)满足:(1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b)内可导;(3)对任一x∈(a,b),f'(x)≠0,那么在(a,b)内至少有一点ζ,使等式[f(b)-f(a)]/[f(b)-f(a)]=f'(ζ)/f'(ζ)成立。柯西简洁而严格地证明了微积分学基本定理即牛顿-莱布尼茨公式。他利用定积分严格证明了带余项的泰勒公式,还用微分与积分中值定理表示曲边梯形的面积,推导了平面曲线之间图形的面积、曲面面积和立体体积的公式。
柯西中值定理可以证明拉格朗日中值定理?
如果函数f(x)及F(x)满足:
(1)在闭区间[a,b]上连续;
(2)在开区间(a,b)内可导;
(3)对任一x∈(a,b),F'(x)≠0,
那么在(a,b)内至少有一点ζ,使等式
[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ζ)/F'(ζ)成立。
柯西简洁而严格地证明了微积分学基本定理即牛顿-莱布尼茨公式。他利用定积分严格证明了带余项的泰勒公式,还用微分与积分中值定理表示曲边梯形的面积,推导了平面曲线之间图形的面积、曲面面积和立体体积的公式。
柯西中值定理与拉格朗日中值定理的关系
当柯西中值定理中的g(x)=x时,柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
补充:
拉格朗日中值定理:
如果函数f(x)满足
在闭区间[a,b]上连续;
在开区间(a,b)内可导,
那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b),使等式
f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)
成立。
柯西中值定理:
如果函数f(x)及F(x)满足
⑴在闭区间[a,b]上连续;
⑵在开区间(a,b)内可导;
中值定理
⑶对任一x(a,b),F'(x)!=0
那么在(a,b) 内至少有一点ξ,使等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ξ)/F'(ξ)成立。
也叫Cauchy中值定理。
柯西中值定理和洛必达法则的关系
stolz定理是施笃兹定理。
1、在数学中,Stolz定理是以数学家奥托Stolz和埃内斯托CESàRO命名,是检验一个数列是否收敛的准则。设有数列An,Bn 若Bn>0递增且有n-->+∞时Bn-->+∞。
2、洛必达法则是对分子分母分别求导,而施笃兹定理是对分子分母分别取了逆向的差分。求差分在一定意义上可以理解成“离散地求导”,所以洛必达法则和施笃兹定理是非常相像的。